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3.2 Räumliches Modellieren

3.2.1  Räumliche Konzepte

Allgemeine räumliche Konzepte dienen den Menschen dazu, ihre Raumwahrnehmungen zu organisieren und zu strukturieren. Je nach Anwendungszweck kommen dabei unter­schiedliche Konzepte zum Einsatz: zur Orientierung in der unmittelbaren Umgebung bietet sich etwa ein kartesisches Koordinatensystem an, während die Navigation in einem Auto die Strukturierung des Raumes in Gestalt einer Netzwerktopologie von Straßen er­fordert. Dabei bleibt die Realität selbst unverändert, aber das zugrundeliegende Raum­modell kann in Abhängigkeit des Anwendungszwecks variieren (EGENHOFER/ HERRING 1991, S. 228f.; FRANK 1992, S. 411f.; CAR/ FRANK 1994, S. 151).

Ein konzeptionelles räumliches Modell kann prinzipiell unter zwei Gesichtpunkten ge­bildet werden (FLIEDNER 1987, S.72; HUBER/SCHNEIDER 1999, S. 28):

  • Raum als Kontinuum

Betrachtet man Raum als Kontinuum mit variablen Eigenschaften an verschiedenen Orten, so kann man geographische Informationen auf ein Tupel reduzieren:

T = <x, y, z1, z2,..., zn>

wobei durch (x,y) die Position gegeben ist und z für n räumliche Variablen für jede Position steht. Erweitert man diesen zweidimensionalen Fall der Ebene um die vertikale Dimension h und die Zeit t erhält man das Tupel <x, y, h, t, z1, z2,..., zn> (GOODCHILD 1992, S. 402; SCHNEIDER 1995, S. 18f.).

  • Raum als Diskreta

Der Raum setzt sich aus einer Menge gegeneinander abgegrenzter Entitäten mit räum­lichen Eigenschaften zusammen. Der Raum kann nur aufgrund der in ihm befindlichen Entitäten definiert werden. Das Identifizieren von Objekten kann zu unterschiedlichen Ergebnissen führen, da die zugrundeliegende Klassifizierung abhängig ist von der übergeordneten Thematik, dem Maßstab (Stadt als Fläche oder als Punkt) und der subjektiven Interpretation des einzelnen Bearbeiters (BURROUGH 1992, S. 397).

Dieses Begriffspaar kann alternativ auch als absoluter und relativer Raum umschrieben werden, wobei beide Sichten durchaus alternative Prinzipien darstellen können. Bei­spielsweise kann man sich die administrative Gliederung in Gemeinden als einzeln ab­grenzbare Objekte vorstellen, oder die gesamte übergeordnete Fläche wie ein Bundesland als eine Punktmenge betrachten, wobei für jeden Punkt anzugeben ist, zu welcher Gemeinde er gehört. Dennoch lassen sich Beispiele finden, in denen die Übertragung zwischen diesen Sichten nur eingeschränkt möglich ist. Topographische Höhenkarten, Bodentypenkarten oder Darstellungen zur Temperaturverteilung in einer Region besitzen die gemeinsame Eigenschaft, daß hier der Raum als Gesamtes flächendeckend hinsichtlich einer bestimmten Thematik betrachtet wird, während ein Stadtführer in Kartenform einzelne Objekte und ihre relative Lage zueinander erfaßt (MARK 1999, S. 82).

In der GIS-Praxis als auch in der Kartographie lassen sich Beispiele finden, die auf unter­schiedlichen räumlichen Konzepten basieren. Manche dieser Konzepte lassen sich nicht direkt in einem Programm implementieren, da sie auf unscharf definierten Begriffen wie „nah“ oder „fern“ aufbauen, andere sind zwar formal definiert, beinhalten aber Elemente wie unendliche Punktmenge, die zunächst in eine diskrete Form übertragen werden müs­sen. (FRANK 1992, S. 412; SCHNEIDER 1995, S. 14ff.; ERWIG/ SCHNEIDER 1997, S.3ff.):

  • Punktmengen: Der Raum wird durch eine unendliche Menge dimensionsloser Punkte gebildet, die ein Kontinuum darstellen. Jeder Punkt kann anhand seiner Koordinaten identifiziert werden. Zumindest theoretisch können für jeden Punkt zusätzliche Attribut­werte angegeben werden, die bestimmte Eigenschaften dieses Punktes be­schreiben.

  • Thematische Oberflächen: Verknüpft man einen Raumausschnitt mit einem Attribut, so erhält man eine kontinuierliche Oberfläche, die die Verteilung der Attributwerte zeigt. Die Attributwerte können von Punk zu Punkt variieren bzw. bilden kontinuierliche Übergänge, oder die Werte ändern sich abrupt an bestimmten Grenzen.

  • Euklidische Geometrie: Hier werden Punkte und infinite Linien behandelt, für die die anwendbaren Operationen über Axiome definiert sind. Es existiert eine Abbildung in einen Koordinatenraum, in dem jeder Punkt durch ein Wertepaar der reellen Zahlen festgelegt ist.

  • Graphen: Ein Graph besteht aus topologischen Knoten und Kanten, die miteinander verbunden sind. Mit Hilfe der Topologie können Nachbarschaftsbeziehungen zwischen Geo-Objekten dargestellt werden, wobei eine Generalisierung der Metrik und der euklidischen Koordinaten vollzogen wird (BREUNIG 1999, S. 41). Die Graphentheorie liefert eine Anzahl an Algorithmen, die in GIS-Anwendungen zur Analyse von Netzwerkproblemen angewendet werden.

  • Partitionen: Der Gesamtraum wird in einzelne, paarweis disjunkte Zellen zerlegt, die sich jeweils in einer Eigenschaft von ihren Nachbarzelle unterscheiden. Beispiele für dieses Konzept finden sich in der Darstellung der Besitzverhältnisse von Parzellen oder in Bodenkarten.

  • Einzeln abgrenzbare Entitäten: Verzichtet man auf die Bedingung, daß alle Teil­flächen disjunkt sein müssen, können auf dieser Basis einzeln abgrenzbare Entitäten definiert werden, die den Gesamtraum nicht notwendigerweise vollständig ausfüllen.

3.2.2 Geometrische Datenmodelle

Für die Realisierung eines GIS muß ein geometrisches Datenmodell entwicklt werden, daß die allgemeinen Konzepte formalisiert und diskret abbildet. Diese formale Ebene ist da­durch charakterisiert, daß sie eine algebraische Struktur darstellt, die sich aus abstrakten Individuen, den Relationen zwischen diesen sowie den erlaubten Operationen aufbaut. (BITTNER/ FRANK 1997, S. 13). Mit Hilfe eines räumlichen Bezugssystems können die geometrischen sowie die darauf aufbauenden toplogischen Eigenschaften eines Geo-Objektes definiert werden. Das wichtigste Bezugssystem in geowissenschaftlichen An­wendungen ist ein kartesisches Koordinatensystem mit paarweise rechtwinkligen Koor­dinatenachsen in Kombination mit der Euklidischen Metrik. Ein metrischer Raum ist in der Mathematik durch eine Funktion d(p, p) → R definiert, die die Distanz zwischen zwei Punkten p darstellt und bestimmte Axiome erfüllen muß (GATRELL 1991, S. 120f.). Für die Euklidische Metrik im zweidimensionalen Raum gilt beispielsweise für die Distanz zweier Punkte p1(x1, y1) und p2(x2, y2):

.

In GIS-Applikationen kommen aber auch andere Metriken zur Anwendung, in der andere Distanzfunktionen definiert sind. Beispielsweise wird in der sog. Manhatten-Metrik die Entfernung zwischen zwei Punkten nicht anhand einer geradlinigen, direkten Verbindung berechnet, sondern als die kürzeste Verbindung durch ein rechtwinklig angelegtes Gitter. Weitere Variationen der Distanzfunktion ergeben sich, wenn die Entfernung zwischen zwei Punkten nicht nur im Sinne einer ausschließlich räumlichen Distanz, sondern als „Erreichbarkeit“ interpretiert wird. Dabei können Wegstrecken mit zusätzlichen Ge­wichten bzw. Widerständen versehen werden, um z.B. in einer GIS-gestützten Analyse die unterschiedliche Qualität in der Verkehrsinfrastruktur zu simulieren (COUCLELIS 1999, S. 30).

Die nichtmetrischen räumlichen und strukturellen Beziehungen beliebiger Elemente in abstrakten Räumen behandelt die Topologie. Die Aufgabe besteht darin, topologische In­varianten zu bestimmen, die von metrischen Deformationen unabhängig sind. Die algebraische Topologie wird in GIS für Konsistenzprüfungen verwendet (vgl. Kapitel 6.1.1), während mit Hilfe der mengentheoretischen Topologie Beziehungen zwischen Geo-Objekten wie „überlappt“, „ist innerhalb“ oder „berührt“ beschrieben werden (BILL/ FRITSCH 1994, S.220 ff.).

Im GIS-Bereich werden zwei geometrische Datenmodelle verwendet (BARTELME 1995, S. 46ff.):

  • Das Rastermodell teilt den Interessensbereich in Zellen mit homogener Thematik auf. Dieses Mosaik kann ein regelmäßiges Gitter mit quadratischen Maschen (Pixel) dar­stellen, oder eine unregelmäßige Struktur besitzen. Werden beispielsweise die Teil­flächen durch Dreiecke repräsentiert, spricht man von einem triangulated irregular network (TIN), das für digitale Höhenmodelle verwendet wird.

  • Die Grundelemente des Vektormodells sind Punkte und Linien, wobei Flächen durch einen geschlossenen Linienzug gebildet werden. Diesen Elementen werden Attribute zugeordnet, die ihren thematischen Bezug beschreiben

3.2.3 Geometrische Datenstrukturen

Während das Datenmodell festlegt, welche Operationen ausgeführt werden können, definiert die Datenstruktur, wie diese Operationen tatsächlich auszuführen sind. Die zwei wichtigsten Datenstrukturen im GIS-Bereich sind Raster- und Vektorstrukturen, wobei hier eine Unterscheidung zwischen den oben beschriebenen geometrischen Datenmodellen und den Datenstrukturen vorzunehmen ist. Beispielsweise werden digitale Gelände­modelle mit Hilfe von Linienstrukturen aufgebaut, sind also von der Datenstruktur her den Vektoren zuzuordnen, während das geometrische Datenmodell ein Raster darstellt. Das Rastermodell spezifiziert lediglich, daß eine Zerlegung in Zellen vorgenommen wird, wo­bei dabei noch nichts über die physische Organisation der Daten ausgesagt ist (RAPER/MAGUIRE 1992, S. 389).

Die gleichzeitige Existenz mehrerer Datenstrukturen deutet darauf hin, daß eine qualitative Bewertung einzelner Lösungen nur vor dem Hintergrund einer konkreten An­wendung möglich, ist und jede Datenstruktur hinsichtlich einer Problemstellung Vorteile aufweist, für andere aber völlig ungeeignet ist. Rasterstrukturen eignen sich hervorragend für Aufgabenstellungen, in denen Attributwerte flächendeckend betrachtet werden und stark variieren, wie z.B. in meteorologische Anwendungen, sind aber nahezu unbrauchbar für Netzwerkanalysen (FRANK 1992, S. 415; RAPER/MAGUIRE 1992, S. 389).

Alle räumlichen Datenstrukturen enthalten grundsätzlich metrische Informationen über die Form und Position eines Geo-Objekts. Einige verwalten darüberhinaus auch topologische Beziehungen zu anderen Geo-Objekten und erleichtern damit räumliche Analysen (RAPER/MAGUIRE 1992, S. 389).

Vektorstrukturen

Nachfolgend ein kurzer Überblick über die wichtigsten Vektordatenstrukturen (RAPER/MAGUIRE 1992, S. 389; DEMERS 1997, S. 112f.):

Spaghetti: Diese unstrukturierte Form stellt die einfachste Möglichkeit dar, räumliche Daten in Vektorform darzustellen. Jedes Geo-Objekt wird durch eine geordnete Liste von x/y- Koordinaten repräsentiert. Der Schnittpunkt zweier Linien muß nicht durch einen Knoten gebildet werden. Die Topologie wird nicht explizit erfaßt und muß im Bedarfsfall anhand der Geometrie ermittelt werden.

Link and Node“: Diese in der englischsprachigen Literatur auch als „spaghetti and meatball“ bezeichnete Struktur erweitert den reinen Spaghetti-Ansatz dahingehend, daß sich schneidende Linien einen gemeinsamen Schnittpunkt teilen müssen und eingeschlos­sene Flächen identifiziert werden. Diese Flächen können mit Attributen verknüpft („link“) werden. In einigen Systemen wie AutoCAD MAP ist dies so realisiert, daß in jeder Fläche ein Punkt plaziert wird, über den diese Verknüpfung aufgebaut werden kann. Der Punkt steht dann stellvertretend für die eingeschlossene Fläche, in der er sich befindet. Die Topologie ist ist nur für Flächen und die sie begrenzenden Linien erfaßt, andere Be­ziehungen wie die Nachbarschaft zweier Flächen kann über die gemeinsame Randlinie ermittelt werden.

Hierarchisch: Diese Struktur, die u.a. in CAD-basierten Systemen anzutreffen ist, ver­knüpft jedes Polygon mit seinen Randlinien und diese Linien wiederum mit jedem Stütz­punkt.

POLYVRT: Diese von PEUCKER und CHRISMAN (1975) entwickelte und in der PolygonConverter-Software implementierten Struktur stellt die gemeinsame Grenzlinie benachbarter Polygone in den Mittelpunkt. Für jede Linie wird Anfangs- und Endknoten sowie Verweise auf die links und rechts liegenden Polygone erfaßt. Damit wird die topologische Nachbarschaftsbeziehung zwischen zwei Polygonen explizit abgebildet. Eine ähnliche Datenstruktur verwendet ARC/INFO von ESRI.

Rasterstrukturen

Da Rasterstrukturen in der vorliegenden Arbeit nicht ausführlich betrachtet werden sollen, erfolgt hier nur ein kurzer Überblick. Rasterdaten entstehen durch Scannen von Karten und Plänen oder auf direktem Weg über Digitalkameras, wie dies bei Satellitenbildern der Fall ist. Über die Geokodierung wird das Rasterbild in Bezug zu einem Koordinaten­system gesetzt. Erweiterungen dieser Grundstruktur zielen vor allem darauf ab, den Speicher­bedarf von Rasterdaten zu begrenzen. Dazu werden beispielsweise Verfahren wie die Lauflängenkodierung oder hierarchische Zerlegungen wie der Quadtree verwendet. Die bekanntesten Software-Systeme in diesem Bereich sind IDRISI, GRASS und ARC/INFO – GRID, sowie SPANS, das Rasterstrukturen in Quadtrees speichert (RAPER/MAGUIRE 1992, S. 390; EBDON 1992, S.471f.).